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Literatura - Borges - Aquiles y la tortuga

JORGE LUIS BORGES:La perpetua carrera de Aquilesy la tortuga

(Discusión.Buenos Aires, 1964).

LAS IMPLICACIONES DE LA PALABRA joya—valiosa pequeñez, delicadeza que no está sujeta a la fragilidad, facilidad suma de traslación, limpidez que no excluye lo impenetrable, flor para los años— la hacen de uso legítimo aquí. No sé de mejor calificación para la paradoja de Aquiles, tan indiferente a las decisivas refutaciones que desde más de veintitrés siglos la derogan, que ya podemos saludarla inmortal. Las reiteradas visitas del misterio que esa perduración postula, las finas ignorancias a que fue invitada por ella la humanidad, son generosidades que no podemos no agradecerle. Vivámosla otra vez, siquiera para convencernos de perplejidad y de arcano íntimo. Pienso dedicar unas páginas —unos compartidos minutos— a su presentación y a la de sus correctivos más afamados. Es sabido que su inventor fue Zenón de Elea, discípulo de Parménides, negador de que pudiera suceder algo en el universo.

La biblioteca me facilita un par de versiones de la paradoja gloriosa. La primera es la del hispanisimo diccionario Hispano-Americano, en su volumen vigésimo tercero, y se reduce a esta cautelosa noticia:El movimiento no existe.- Aquiles no podría alcanzara la perezosa tortuga.Declino esa reserva y busco la menos apurada exposición de G. H. Lewes, cuya fue la primer lectura especulativa que yo abordé, no sé si vanidosa oBiographical History of Philosophycuriosamente. Escribo de esta manera su exposición: Aquiles, símbolo de rapidez, tiene que alcanzar a la tortuga, símbolo de morosidad. Aquiles corre diez veces más ligero que la tortuga y le da diez metros de ventaja. Aquiles corre esos diez metros, la tortuga corre uno; Aquiles corre ese metro, la tortuga corre un decímetro; Aquiles corre ese decímetro, la tortuga corre un centímetro; Aquiles corre ese centímetro, la tortuga un milímetro; Aquiles el milímetro, la tortuga un décimo de milímetro, y así infinitamente, de modo que Aquiles puede correr para siempre sin alcanzarla. Así la paradoja inmortal.

Paso a las llamadas refutaciones. Las de mayores años —la de Aristóteles y la de Hobbes— están implícitas en la formulada por Stuart Mill. El problema, para él, no es más que uno de tantos ejemplos de la falacia de confusión. Cree, con esta distinción, abrogarlo:

En la conclusión del sofisma,para siemprequiere decir cualquier imaginable lapso de tiempo; en las premisas, cualquier número de subdivisiones de tiempo. Significa que podemos dividir diez unidades por diez, y el cociente otra vez por diez, cuantas veces queramos, y que no encuentran fin las subdivisiones del recorrido, ni por consiguiente las del tiempo en que se realiza. Pero un ilimitado número de subdivisiones puede efectuarse con lo que es limitado. El argumento no prueba otra infinitud de duración que la contenible en cinco minutos. Mientras los cinco minutos no hayan pasado, lo que falta puede ser dividido por diez, y otra vez por diez, cuantas veces se nos antoje, lo cual es compatible con el hecho de que la duración total sea cinco minutos. Prueba, en resumen, que atravesar ese espacio finito requiere un tiempo infinitamente divisible, pero no infinito. (Mill,Sistema de lógica,libro quinto, capítulo siete).

No anteveo el parecer del lector, pero estoy sintiendo que la Proyectada refutación de Stuart Mill no es otra cosa que una exposición de la paradoja. Basta fijar la velocidad de Aquiles a un segundo por metro, para establecer el tiempo que necesita.

10+1+1/10+1/100+1/1,000 +1/10,000…

El límite de la suma de esta infinita progresión geométrica es doce (más exactamente, once y un quinto; más exactamente, once con tres veinticincoavos), pero no es alcanzado nunca. Es decir, el trayecto del héroe será infinito y éste correrá para siempre, pero su derrotero se extenuará antes de doce metros, y su eternidad no verá la terminación de doce segundos. Esa disolución metódica, esa ilimitada caída en precipicios cada vez más minúsculos, no es realmente hostil al problema: es imaginárselo bien. No olvidemos tampoco de atestiguar que los corredores decrecen, no sólo por la disminución visual de la perspectiva, sino por la, disminución admirable a que los obliga la ocupación de sitios microscópicos. Realicemos también que esos precipicios eslabonados corrompen el espacio y con mayor vértigo el tiempo vivo, en su doble desesperada persecución de la inmovilidad y del éxtasis.

Otra voluntad de refutación fue la comunicada en 1910 por Henry Bergson, en el notorioEnsayo sobre los datos inmediatos de la conciencia:nombre que comienza por ser una petición de principio. Aquí está su página:

Por una parte, atribuimos al movimiento la divisibilidad misma del espacio que recorre, olvidando que puede dividirse bien un objeto, pero no un acto; por otra, nos habituamos a proyectar este acto mismo en el espacio, a aplicarlo a la línea que recorre el móvil, a solidificarlo, en una palabra. De esta confusión entre el movimiento y el espacio recorrido nacen, en nuestra opinión, los sofismas de la escuela de Elea; porque el intervalo que separa dos puntos es infinitamente divisible, y si el movimiento se compusiera de partes como las del intervalo, jamás el intervalo sería franqueado. Pero la verdad es que cada uno de los pasos de Aquiles es un indivisible acto simple, y que después de un número dado de estos actos, Aquiles hubiera adelantado a la tortuga. La ilusión de los Eleatas provenía de la identificación de esta serie de actos individualessui generis,con el espacio homogéneo que los apoya. Como este espacio puede ser dividido y recompuesto según una ley cualquiera, se creyeron autorizados a rehacer el movimiento total de Aquiles, no ya con pasos de Aquiles, sino con pasos de tortuga. A Aquiles persiguiendo una tortuga sustituyeron, en realidad, dos tortugas regladas la una sobre la otra, dos tortugas de acuerdo en dar la misma clase de pasos o de actos simultáneos, para no alcanzarse jamás. ¿Por qué Aquiles adelanta a la tortuga? Porque cada uno de los pasos de Aquiles y cada uno de los pasos de la tortuga son indivisibles en tanto que movimientos, y magnitudes distintas en tanto que espacio: de suerte que no tardará en darse la suma, para el espacio recorrido por Aquiles, como una longitud superior a la suma del espacio recorrido por la tortuga y de la ventaja que tenía respecto de él. Es lo que no tiene en cuenta Zenón cuando recompone el movimiento de Aquiles, según la misma ley que el movimiento de la tortuga, olvidando que sólo el espacio se presta a un modo de composición y descomposición arbitrarias, y confundiéndolo así con el movimiento.(Datos inmediatos,versión española de Barnés, páginas 89, 90. Corrijo, de paso alguna distracción evidente del traductor). El argumento es concesivo. Bergson admite que es infinitamente divisible el espacio, pero niega que lo sea el tiempo. Exhibe dos tortugas en lugar de una para distraer al lector. Acollara un tiempo y un espacio que son incompatibles: el brusco tiempo discontinuo de James, con superfecta efervescencia de novedad,y el espacio divisible hasta lo infinito de la creencia común.

Arribo, por eliminación, a la única refutación que conozco, a la única de inspiración condigna del original, virtud que la estética de la inteligencia está reclamando. Es la formulada por Russell. La encontré en la obra nobilísima de William James,Some Problems of Philosophy,y la concepción total que postula puede estudiarse en los libros ulteriores de su inventor-Introduction to Mathematical Philosophy, 1919; Our Knowledge of the externas world, 1926-libros de una lucidez inhumana, insatisfactorios e intensos. Para Russell, la operación de contar es (intrínsecamente) la de equiparar dos series. Por ejemplo, sí los primogénitos de todas las casas de Egipto fueron muertos por el Angel, salvo los que habitaban en casa que tenía en la puerta una señal roja, es evidente que tantos se salvaron como señales rojas había, sin que esto importe enumerar cuántos fueron. Aquí es indefinida la cantidad; otras operaciones hay en que es infinita también. La serie natural de los números es infinita, pero podemos demostrar que son tantos los impares como los pares.

Al 1 corresponde el 2

Al 3 corresponde el 4

Al 5 corresponde el 6, etcétera

La prueba es tan irreprochable como baladí, pero no difiere de la siguiente de que hay tantos múltiples de tres mil dieciocho como números hay.

Al 1 corresponde el 3,018

Al 2 corresponde el 6,036

Al 3 corresponde el 9,054

Al 4 corresponde el 12,072, etcétera

Lo mismo puede afirmarse de sus potencias, por más que éstas se vayan ramificando a medida que progresemos.

Al 1 corresponde el 3,018

Al 2 corresponde el 3,018 al cuadrado, es el 9,108,324

Al 3.... etcétera

Una genial aceptación de estos hechos ha inspirado la fórmula de que una colección infinita —verbigracia, la serie de los números naturales— es una colección cuyos miembros pueden desdoblarse a su vez en series infinitas. La parte, en esas elevadas latitudes de la numeración, no es menos copiosa que el todo: la cantidad precisa de puntos que hay en el universo es la que hay en un metro de universo, o en un decímetro, o en la más honda trayectoria estelar. El problema de Aquiles cabe dentro de esa heroica respuesta. Cada sitio ocupado por la tortuga guarda proporción con otro de Aquiles, y la minuciosa correspondencia, punto por punto, de ambas series simétricas, basta para publicarlas iguales. No queda ningún remanente periódico de la ventaja inicial dada a la tortuga: el punto final en su trayecto, el último en el trayecto de Aquiles y el último en el tiempo de la carrera, son términos que matemáticamente coinciden. Tal es la solución de Russell. James, sin recusar la superioridad técnica del contrario, prefiere disentir. Las declaraciones de Russell (escribe) eluden la verdadera dificultad, que atañe a la categoríacrecientedel infinito, no a la categoría estable,que es la única tenida en cuenta por él, cuando presupone que la carrera ha sido corrida y que el problema es el de equilibrar los trayectos. Por otra parte, no se precisan dos: el de cada cual de los corredores o el mero lapso del tiempo vacío, implica la dificultad, que es la de alcanzar una meta cuando un previo intervalo sigue presentándose vuelta a vuelta y obstruyendo el camino. (Some Problems of Philosophy, 1911, p. 18 l.).

He arribado al final de mi noticia, no de nuestra cavilación. La paradoja de Zenón de Elea, según indicó James, es atentatoria no solamente a la realidad del espacio, sino a la más invulnerable y fina del tiempo. Agrego que la existencia en un cuerpo físico, la permanencia inmóvil, la fluencia de una tarde en la vida, se alarman de aventura por ella. Esa descomposición, es mediante la sola palabrainfinito,palabra (y después concepto) de zozobra que hemos engendrado con temeridad y que una vez consentida en un pensamiento, estalla y lo mata. (Hay otros escarmientos antiguos contra el comercio de tan alevosa palabra: hay la leyenda china del cetro de los reyes de Liang, que era disminuido en una mitad por cada nuevo rey; el cetro, mutilado por dinastías, persiste aún). Mi opinión, después de las calificadísimas que he presentado, corre el doble riesgo de parecer impertinente y trivial. La formularé, sin embargo: Zenón es incontestable, salvo que confesemos la idealidad del espacio y del tiempo. Aceptemos el idealismo, aceptemos el crecimiento concreto de lo percibido, y eludiremos la pululación de abismos de la paradoja.

¿Tocar a nuestro concepto del universo, por ese pedacito de tiniebla griega?, interrogará mi lector.

Wesley Salmon : editor of Zeno's Paradoxes:

Zeno's paradoxes are some of the oldest surviving arguments in Western philosophy, and they're still some of the most thought-provoking. Like many of the best philosophical problems, they're quite easy to state but tackling them properly can take you into deep issues about reality, mathematics, time and space. Everybody with an interest in philosophy ought to know a bit about the 'Achilles & the Tortoise', 'Racetrack', 'Stadium' and 'Flying Arrow' paradoxes. And they're all here - in detail. Wesley Salmon has assembled a brilliant collection of articles from authors including Henri Bergson, Bertrand Russell and Adolph Grünbaum. Taken as a whole, this book offers a very comprehensive overview of the classic responses and challenges to Zeno. (Although be warned: some of the later papers - notably the second and third articles by Grünbaum - can get pretty technical in places.) A couple of good books to read in conjunction with this one, or as introductions to paradoxes in general, are Michael Clark's 'Paradoxes from A to Z' (from Routledge) and Roy Sorensen's 'A Brief History of the Paradox' (from Oxford).

Zeno's Paradoxes

First published Tue Apr 30, 2002; substantive revision Fri Mar 26, 2004

Almost everything that we know about Zeno of Elea is to be found in the opening pages of Plato's Parmenides. There we learn that Zeno was nearly 40 years old when Socrates was a young man, say 20. Since Socrates was born in 469 BC we can estimate a birth date for Zeno around 490 BC. Beyond this, really all we know is that he was close to Parmenides (Plato reports the gossip that they were lovers when Zeno was young), and that he wrote a book of paradoxes defending Parmenides' philosophy. Sadly this book has not survived, and what we know of his arguments is second-hand, principally through Aristotle and his commentators (here I have drawn particularly on Simplicius, who, though writing a thousand years after Zeno, apparently possessed at least some of his book). There were apparently 40 ‘paradoxes of plurality’, attempting to show that ontological pluralism — a belief in the existence of many things rather than only one — leads to absurd conclusions; of these paradoxes only two definitely survive, though a third argument can probably be attributed to Zeno. Aristotle speaks of a further four arguments against motion (and by extension change generally), all of which he gives and attempts to refute. In addition Aristotle attributes two other paradoxes to Zeno. Sadly again, almost none of these paradoxes are quoted in Zeno's original words by their various commentators, but in paraphrase.

5. Zeno's Influence on Philosophy

In this final section we should consider briefly the impact that Zeno has had on various philosophers; a search of the literature will reveal that these debates continue.

The Pythagoreans: For the first half of the Twentieth century the majority reading — following Tannery (1885) — of Zeno held that his arguments were directed against a technical doctrine of the Pythagoreans. According to this reading they held that all things were composed of elements that had the properties of a unit number, a geometric point and a physical atom: this kind of position would fit with their doctrine that reality is fundamentally mathematical. However, in the middle of the century a series of commentators (Vlastos, 1967, summarizes the argument and contains references) forcefully argued that Zeno's target was instead a common sense understanding of plurality and motion — one grounded in familiar geometrical notions — and indeed that the doctrine was not a major part of Pythagorean thought. We have implicitly assumed that these arguments are correct in our readings of the paradoxes. That said, Tannery's interpretation still has its defenders (see e.g., Matson 2001).

The Atomists: Aristotle (On Generation and Corruption 316b34) claims that our third argument — the one concerning complete divisibility — was what convinced the atomists that there must be smallest, indivisible parts of matter. See Abraham (1972) for a further discussion of Zeno's connection to the atomists.

Temporal Becoming: In the early part of the Twentieth century several influential philosophers attempted to put Zeno's arguments to work in the service of a metaphysics of ‘temporal becoming’, the (supposed) process by which the present comes into being. Such thinkers as Bergson (1911), James (1911, Ch 10 —11) and Whitehead (1929) argued that Zeno's paradoxes show that space and time are not structured as a mathematical continuum: they argued that the way to preserve the reality of motion was to deny that space and time are composed of points and instants. However, we have clearly seen that the tools of standard modern mathematics are up to the job of resolving the paradoxes, so no such conclusion seems warranted: if the present indeed ‘becomes’, there is no reason to think that the process is not captured by the continuum.

Applying the Mathematical Continuum to Physical Space and Time: Following a lead given by Russell (1929, 182-198), a number of philosophers — most notably Grünbaum (1967) — took up the task of showing how modern mathematics could solve all of Zeno's paradoxes; their work has thoroughly influenced our discussion of the arguments. What they realized was that a purely mathematical solution was not sufficient: the paradoxes not only question abstract mathematics, but also the nature of physical reality. So what they sought was an argument not only that Zeno posed no threat to the mathematics of infinity but also that that mathematics correctly describes objects, time and space. The idea that a mathematical law — say Newton's law of universal gravity — may or may not correctly describe things is familiar, but some aspects of the mathematics of infinity — the nature of the continuum, definition of infinite sums and so on — seem so basic that it may be hard to see at first that they too apply contingently. But surely they do: nothing guarantees a priori that space has the structure of the continuum, or even that parts of space add up according to Cauchy's definition. (Salmon offers a nice example to help make the point: since alcohol dissolves in water, if you mix the two you end up with less than the sum of their volumes, showing that even ordinary addition is not applicable to every kind of system.) Our belief that the mathematical theory of infinity describes space and time is justified to the extent that the laws of physics assume that it does, and to the extent that those laws are themselves confirmed by experience. While it is true that almost all physical theories assume that space and time do indeed have the structure of the continuum, it is also the case that quantum theories of gravity likely imply that they do not. While no one really knows where this research will ultimately lead, it is quite possible that space and time will turn out, at the most fundamental level, to be quite unlike the mathematical continuum that we have assumed here.

One should also note that Grünbaum took the job of showing that modern mathematics describes space and time to involve something rather different from arguing that it is confirmed by experience. The dominant view at the time (though not at present) was that scientific terms had meaning insofar as they referred directly to objects of experience — such as ‘1 m ruler’ — or, if they referred to ‘theoretical’ rather than ‘observable’ entities — such as ‘a point of space’ or ‘1/2 of 1/2 of … 1/2 a racetrack’ — then they obtained meaning by their logical relations — via definitions and theoretical laws — to such observation terms. Thus Grünbaum undertook an impressive program to give meaning to all terms involved in the modern theory of infinity, interpreted as an account of space and time.

Supertasks: A further strand of thought concerns what Black (1950-51) dubbed ‘infinity machines’. Black and his followers wished to show that although Zeno's paradoxes offered no problem to mathematics, they showed that after all mathematics was not applicable to space, time and motion. Most starkly, our resolution to the Dichotomy and Achilles assumed that the complete run could be broken down into an infinite series of half runs, which could be summed. But is it really possible to complete any infinite series of actions: to complete was is known as a ‘supertask’? If not, and assuming that Atalanta and Achilles can complete their tasks, their complete runs cannot be correctly described as an infinite series of half-runs, although modern mathematics would so describe them. What infinity machines are supposed to establish is that an infinite series of tasks cannot be completed — so any completable task cannot be broken down into an infinity of smaller tasks, whatever mathematics suggests.

Non-standard analysis: Finally, we have seen how to tackle the paradoxes using the resources of mathematics as developed in the Nineteenth century. For a long time it was considered one the great virtues of this system that it finally showed how to do without infinitesimal quantities, smaller than any finite number but larger than zero. (Newton's calculus for instance effectively made use of such numbers, treating them sometimes as zero and sometimes as finite; the problem with such an approach is that how to treat the numbers is a matter of intuition not rigor.) However, in the Twentieth century Robinson showed how to introduce infinitesimal numbers into mathematics: this is the system of ‘non-standard analysis’ (the familiar system of real numbers, given a rigorous foundation by Dedekind, is by contrast just ‘analysis’). And it has been shown by McLaughlin (1992, 1994) that Zeno's paradoxes can also be resolved in non-standard analysis; they are no more argument against non-standard analysis than the standard mathematics we have assumed here. It should be emphasized however that — contrary to McLaughlin's suggestions — there is no need for non-standard analysis to solve the paradoxes: either system is equally successful. (The construction of non-standard analysis does however raise a further question about the applicability of analysis to physical space and time: it seems plausible that all physical theories can be formulated in either terms, and so as far as our experience extends both seem equally confirmed. But they cannot both be true of space and time: either space has infinitesimal parts or it doesn't.)

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Thursday, March 5, 2009

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