Thursday, October 9, 2008

La Razón Dorada (Golden Ratio)

"Wisdom hath builded her house, she hath hew
n out her seven pillars:"
Prov. 25:16
" Hast thou found honey? eat so much as is sufficient for thee, lest thou be filled therewith, and vomit it."

The golden section is a line segment sectioned into two according to the golden ratio. The total length a+b is to the longer segment a as a is to the shorter segment b.
In mathematics and the arts, two quantities are in the golden ratio if the ratio between the sum of those quantities and the larger one is the same as the ratio between the larger one and the smaller. The golden ratio is approximately 1.6180339887.[1]

At least since the Renaissance, many artists and architects have proportioned their works to approximate the golden ratio—especially in the form of the golden rectangle, in which the ratio of the longer side to the shorter is the golden ratio—believing this proportion to be aesthetically pleasing. Mathematicians have studied the golden ratio because of its unique and interesting properties.

The golden ratio can be expressed as a mathematical constant, usually denoted by the Greek letter \varphi (phi). The figure of a golden section illustrates the geometric relationship that defines this constant. Expressed algebraically:

 \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi\,.

This equation has as its unique positive solution the algebraic irrational number

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\approx 1.61803\,39887\ldots.\, [1]
Other names frequently used for or closely related to the golden ratio are golden section (Latin: sectio aurea), golden mean, golden number, and the Greek letter phi (\varphi). Other terms encountered include extreme and mean ratio, medial section, divine proportion, divine section (Latin: sectio divina), golden proportion, golden cut, and mean of Phidias.

Two quantities (positive numbers) a and b are said to be in the golden ratio \varphi if

 \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi\,.

This equation unambiguously defines  \varphi.\,

The right equation shows that a=b\varphi, which can be substituted in the left part, giving


Cancelling b yields


Multiplying both sides by \varphi and rearranging terms leads to:

\varphi^2 - \varphi - 1 = 0.

The only positive solution to this quadratic equation is

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803\,39887\dots\,


The golden ratio has fascinated intellectuals of diverse interests for at least 2,400 years:

Some of the greatest mathematical minds of all ages, from Pythagoras and Euclid in ancient Greece, through the medieval Italian mathematician Leonardo of Pisa (Fibonacci) and the Renaissance astronomer Johannes Kepler, to present-day scientific figures such as Oxford physicist Roger Penrose, have spent endless hours over this simple ratio and its properties. But the fascination with the Golden Ratio is not confined just to mathematicians. Biologists, artists, musicians, historians, architects, psychologists, and even mystics have pondered and debated the basis of its ubiquity and appeal. In fact, it is probably fair to say that the Golden Ratio has inspired thinkers of all disciplines like no other number in the history of mathematics.

Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number

Ancient Greek mathematicians first studied what we now call the golden ratio because of its frequent appearance in geometry. The ratio is important in the geometry of regular pentagrams and pentagons. The Greeks usually attributed discovery of the ratio to Pythagoras or his followers. The regular pentagram, which has a regular pentagon inscribed within it, was the Pythagoreans' symbol.

Euclid's Elements (Greek: Στοιχεῖα) provides the first known written definition of what is now called the golden ratio: "A straight line is said to have been cut in extreme and mean ratio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less."[9] Euclid explains a construction for cutting (sectioning) a line "in extreme and mean ratio", i.e. the golden ratio.[10] Throughout the Elements, several propositions (theorems in modern terminology) and their proofs employ the golden ratio.[11] Some of these propositions show that the golden ratio is an irrational number.

The name "extreme and mean ratio" was the principal term used from the 3rd century BC[9] until about the 18th century.

The modern history of the golden ratio starts with Luca Pacioli's Divina Proportione of 1509, which captured the imagination of artists, architects, scientists, and mystics with the properties, mathematical and otherwise, of the golden ratio.

The first known approximation of the (inverse) golden ratio by a decimal fraction, stated as "about 0.6180340," was written in 1597 by Prof. Michael Maestlin of the University of Tübingen in a letter to his former student Johannes Kepler.[12]

Since the twentieth century, the golden ratio has been represented by the Greek letter \varphi (phi, after Phidias, a sculptor who is said to have employed it) or less commonly by τ (tau, the first letter of the ancient Greek root τομή—meaning cut).


Timeline according to Priya Hemenway[13].

  • Phidias (490–430 BC) made the Parthenon statues that seem to embody the golden ratio.
  • Plato (427–347 BC), in his Timaeus, describes five possible regular solids (the Platonic solids, the tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron and icosahedron), some of which are related to the golden ratio.[14]
  • Euclid (c. 325–c. 265 BC), in his Elements, gave the first recorded definition of the golden ratio, which he called, as translated into English, "extreme and mean ratio" (Greek: ακρος και μεσος λογος).[9]
  • Fibonacci (1170–1250) mentioned the numerical series now named after him in his Liber Abaci; the Fibonacci sequence is closely related to the golden ratio.
  • Luca Pacioli (1445–1517) defines the golden ratio as the "divine proportion" in his Divina Proportione.
  • Johannes Kepler (1571–1630) describes the golden ratio as a "precious jewel": "Geometry has two great treasures: one is the Theorem of Pythagoras, and the other the division of a line into extreme and mean ratio; the first we may compare to a measure of gold, the second we may name a precious jewel." These two treasures are combined in the Kepler triangle.
  • Charles Bonnet (1720–1793) points out that in the spiral phyllotaxis of plants going clockwise and counter-clockwise were frequently two successive Fibonacci series.
  • Martin Ohm (1792–1872) is believed to be the first to use the term goldener Schnitt (golden section) to describe this ratio, in 1835.[15]
  • Edouard Lucas (1842–1891) gives the numerical sequence now known as the Fibonacci sequence its present name.
  • Mark Barr (20th century) suggests the Greek letter phi (φ), the initial letter of Greek sculptor Phidias's name, as a symbol for the golden ratio.[16]
  • Roger Penrose (b.1931) discovered a symmetrical pattern that uses the golden ratio in the field of aperiodic tilings, which led to new discoveries about quasicrystals.

Book design

According to Jan Tschichold,[29] "There was a time when deviations from the truly beautiful page proportions 2:3, 1:√3, and the Golden Section were rare. Many books produced between 1550 and 1770 show these proportions exactly, to within half a millimetre."

Egyptian pyramids

One Egyptian pyramid is remarkably close to a "golden pyramid" – the Great Pyramid of Giza (also known as the Pyramid of Cheops or Khufu). Its slope of 51° 52' is extremely close to the "golden" pyramid inclination of 51° 50' and the π-based pyramid inclination of 51° 51'; other pyramids at Giza (Chephren, 52° 20', and Mycerinus, 50° 47')[47] are also quite close. Whether the relationship to the golden ratio in these pyramids is by design or by accident remains controversial. Several other Egyptian pyramids are very close to the rational 3:4:5 shape.[48]

Michael Rice[50] asserts that principal authorities on the history of Egyptian architecture have argued that the Egyptians were well acquainted with the golden ratio and that it is part of mathematics of the Pyramids, citing Giedon (1957).[51] Some recent historians of science have denied that the Egyptians had any such knowledge, contending rather that its appearance in an Egyptian building is the result of chance.[52]

In 1859, the Pyramidologist John Taylor (1781-1864) claimed that in the Great Pyramid of Giza the golden ratio is represented by the ratio of the length of the face (the slope height), inclined at an angle θ to the ground, to half the length of the side of the square base, equivalent to the secant of the angle θ.[53] The above two lengths were about 186.4 and 115.2 meters respectively. The ratio of these lengths is the golden ratio, accurate to more digits than either of the original measurements. Similarly, Howard Vyse, according to Matila Ghyka,[54] reported the great pyramid height 148.2 m, and half-base 116.4 m, yielding 1.6189 for the ratio of slant height to half-base, again more accurate than the data variability.

Adding fuel to controversy over the architectural authorship of the Great Pyramid, Eric Temple Bell, mathematician and historian, claims that Egyptian mathematics would not have supported the ability to calculate the slant height of the pyramids, or the ratio to the height, except in the case of the 3:4:5 pyramid, since the 3:4:5 triangle was the only right triangle known to the Egyptians and they did not know the Pythagorean theorem nor any way to reason about irrationals such as π or φ.[55]

El Número de Oro

El número de oro, número dorado, sección áurea, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción, representado por la letra griega F (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:

Se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en las partes de un cuerpo, y en la naturaleza como relación entre cuerpos, en la morfología de diversos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, proporciones humanas, etc.

Historia del Número de Oro

El número áureo o la proporción áurea se estudió desde la antigüedad, ya que aparece regularmente en geometría. Se conoce ya de su existencia en los pentágonos regulares y pentáculos de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 a. C.

En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos, tanto en su planta como en sus fachadas. Por aquel entonces no recibía ningún nombre especial, ya que era algo tan familiar entre los antiguos griegos que "la división de un segmento en media extrema y razón" era conocido generalmente como "la sección". En el Partenón, Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas. (la denominación Fi, por ser la primera letra de su nombre, la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en su honor).

El Partenón, mostrando los rectángulos áureos usados posiblemente en su construcción.

Platón (circa 428-347 a. C.), consideró la sección áurea como la mejor de todas las relaciones matemáticas y la llave a la física del cosmos.

La sección áurea se usó mucho en el Renacimiento, particularmente en las artes plásticas y la arquitectura. Se consideraba la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.

Da Vinci hizo las ilustraciones para una disertación publicada por Luca Pacioli en 1509 titulada De Divina Proportione, quizás la referencia más temprana en la literatura a otro de sus nombres, el de "Divina Proporción". Este libro contiene los dibujos hechos por Leonardo da Vinci de los cinco sólidos platónicos. Es probable que fuera Leonardo quien diera por primera vez el nombre de sectio áurea. En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

El rostro de la Gioconda proporcionado con rectángulos áureos.

Los artistas de Renacimiento utilizaron la sección áurea en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo da Vinci, por ejemplo, la utilizó para definir todas las proporciones fundamentales en su pintura La última cena, desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo.

Leonardo da Vinci, en su cuadro de la Gioconda (o Mona Lisa) utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro, empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo.

El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), descubridor de la naturaleza elíptica de las órbitas de los planetas alrededor del Sol, mencionó también la divina proporción: “La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”. Y, creyente como era dijo: "no cabe duda de que Dios es un gran matemático"

Hoy en día la sección áurea se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido sería la medida de las tarjetas de crédito, la cual también sigue dicho patrón, así como nuestro carné de identidad y también en las cajetillas de cigarrillos.

En la arquitectura moderna sigue usándose; por ejemplo, está presente en el conocido edificio de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma rectangular cuya cara mayor sigue las citadas proporciones.

La sección áurea en la naturaleza

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea:
Según el propio Leonardo de Pisa Fibonacci, en su Libro de los ábacos, la secuencia puede ayudar a calcular casi perfectamente el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad).
La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal.
La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol (no sólo del nautilus)
La relación entre los lados de un pentáculo.
La relación entre los lados de un pentágono.
La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
La distribución de las hojas en un tallo
La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles
La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a F tomando como unidad la rama superior).
La distancia entre las espirales de una piña.
La Anatomía de los humanos se basa en una relación Phi exacta, así vemos que:
La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es phi.
La relación entre el diametro de la boca y el de la nariz
Es phi la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar
Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene phi, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).
Está comprobado que la mayor cantidad de números phi en el cuerpo y el rostro hacen que la mayoría de las personas reconozcan a esos individuos como lindos, bellos y proporcionados. Si se miden los números phi de una población determinada y se la compara con una población de modelos publicitarios, estos últimos resultan acercarse mas al número phi

La sección áurea en el arte

Relaciones arquitectónicas en las Pirámides de Egipto.
La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).
En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.
Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci.
En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).
En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre, Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones de este número fi (1,618) en la naturaleza.
En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión NUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio de la matemática Charlie Eppes menciona que el número fi se encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral de las galaxias y en la concha del nautilus.
Arte Póvera, movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan en esta sucesión.
En la cinta de Darren Aronofsky Pi, el orden del caos el personaje central, Max Cohen, explica la relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección áurea, aunque denominándola incorrectamente como Theta (?) en vez de Phi (F).

El Número Áureo en la Música

Autores como Bártok, Messiaen y Stockhausen, entre otros, compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propósito) con la sección áurea.

El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías, para organizar las partes (unidades formales).

El grupo de rock progresivo norteamericano Tool, en su disco Lateralus (2001) hacen múltiples referencias al número áureo y a la secuencia Fibonacci, sobre todo en la canción que da nombre al disco, pues los versos de la misma están cantados de forma que el número de sílabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia. Además la voz entra en el minuto 1:37, que pasado al sistema decimal coincide muy aproximadamente con el número áureo.

La sección áurea en el pentáculo

Existe la relación del número áureo también en el pentáculo o pentalfa, un símbolo pagano, más tarde acogido por la iglesia católica para representar a la Virgen María, y también por Leonardo da Vinci para asentar en él al hombre de Vitruvio.

Gráficamente el número áureo es la relación entre el lado del pentágono regular y la recta que une dos vértices no consecutivos de éste. Si se toma como unidad un lado del pentágono interior, cualquier línea que marca los brazos de la estrella mide F. También la longitud total de cualquiera de las cinco líneas que atraviesan la estrella mide F3, mientras que la suma del lado interior y cualquiera de sus brazos es F2.

Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande.

Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea F.

Qué es y de dónde proviene el número áureo

Se divide un segmento cualquiera en dos partes de forma que la razón entre la totalidad del segmento y una parte (la mayor) sea igual a la razón entre esta parte y la otra. Matemáticamente, siendo las partes a y b:

Esta razón, que cumple la propiedad, es denominada razón áurea. Se puede obtener este número a partir de la expresión anterior:

Se puede despejar a utilizando la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, teniendo en cuenta que a > 0 y b > 0:

Dividiendo todo por b se obtiene:

En el cuerpo humano tal como lo representa Leonardo DaVinci

En la oreja tambien? Seee

En la boca? También, a menos que tengas unos dientes como en el Libro de las Sonrisas Británicas:

Acá una modelo con curvas perfectas.



Since the beginning of ART & Design, the artist and designers used the golden ratio in order to manage and achieve beauty and balance in their creations.

... Many books claim that if you draw a rechtangle around the face of Leonardo da Vinci's Mona Lisa, the ratio of the height to width of the rectangle is equal to the Golden Ratio ...
Mario Livio, November 2002

The evidence of the golden ratio was proved on many different creations, like the Aztek decorations below:



The space between the two heads is exacly Phi times the width of the heads.

The California Polytechnic State University is planing to build a new Engineering Plaza. This new construction is based on the Fibonacci numbers. The whole plan also bases on some shapes, which can be used to show the meaning of the golden ratio. The Designers of this new Plaza have chosen the Fibonacci series spiral, or also called the golden mean to design this new state of the art plaza. Below you can see, what the plaza should look like.


[Dr Knott, 1996-2005]

Even the mountainbike shown below, has the golden ratio built in. Take a look at the image, and the marked golden sections of the bike.


[Dr Knott, 1996-2005]

Mountainbike Trek Fuel 90 (belongs to Brian Agron of Fairfax)

So the use of the golden ratio can not only be found in ancient paintings and sculptures, but also in the stunning creations still to come.


Did you know, that if you measure a credit-card, the outcome would be a perfect golden rectangle. This ofcourse shows, that the golden ratio is very well in use. Even if it comes to the proportions and masses of everyday things like credit cards.

1 comment:

alex said...

muy buena informacion sube mas